Механик: Кинематикийн бодлого

Өндөр цамхаг дээрээс чулууг хэвтээ чигт $\upsilon_0=20м/с$ хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа чулууны кинетик энерги нь 3 дахин их болох вэ? Хүндийн хүчний хурдатгал $g=9.81м/с^2$ болно.

————————————

Өгсөн нь:

$\upsilon_0=20м/с$

$g=9.81м/с^2$

$E/E_0=3$

————————————-

Олох нь $t=?$

Бодолт:

Эхлээд шидэх үеийн кинетик энерги $E_0$–ийг олъё.

$$E_0 = \frac{m \upsilon_0^2}{2}$$

Хугацаа өнгөрөх тутам чулууны доошоо чиглэсэн хурд хүндийн хүчний үйлчлэлээр нэмэгдэх тул кинетик энерги нь ч мөн нэмэгдэнэ. Эхний агшинд чулуу зөвхөн хэвтээ чигт хурдтай байсан бол түүнээс хойш босоо болон хэвтээ тэнхлэгийн аль алиных нь дагууд хурдтай болно. Ингээд $t$ хугацааны дараа чулууны хурд нь босоо тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_y$ ба хэвтээ тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_x$–ийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно.

$$\vec{\upsilon} =\vec{i} \upsilon_x + \vec{j} \upsilon_y$$

$\vec{i}$ ба $\vec{j}$ нь харгалзан хэвтээ ба босоо тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд юм. Бид энергийг олох гэж байгаа тул хурдны вектор биш харин хурдны квадратын утга хэрэгтэй. Пифагорын теоремийг хэрэглэвэл:

$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2$$

Хэвтээ тэнхлэгийн дагууд хүч үйлчлээгүй тул $t$ хугацааны дараах хурд нь $\upsilon_x = \upsilon_0$ байна.

Босоо чиглэлд хүндийн хүч үйлчлэх тул хурд нь анх 0 байснаа нэмэгдсээр $t$ хугацааны дараа $\upsilon_y=gt$ болно.

Хэрэв энэ зүйл ойлгомжгүй байвал доор байгаа видео бичлэгийг үзнэ үү.

Ингээд

$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2 =\upsilon_0^2+{(gt)}^2$$

$t$ хугацааны дараа кинетик энерги нь:

$$E=\frac{m\upsilon^2}{2} = \frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}$$

Бодлогын нөхцөл ёсоор:

$$\frac{E}{E_0} = \frac{\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}}{\frac{m \upsilon_0^2}{2}} = 3$$

Эндээс

$$\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2} = 3\frac{m \upsilon_0^2}{2}$$

буюу

$$\upsilon_0^2+{(gt)}^2 = 3 \cdot \upsilon_0^2$$ болно. Хугацааг олбол:

$$t =\sqrt{2} \cdot \upsilon_0/g \approx 2.88сек$$

2.88сек-ийн дараа кинетик энерги нь 3 дахин нэмэгдэнэ.

 

Цахилгаан статик: Бодлого 3

Цэнэгтэй бөмбөрцгийн гадаргуугийн цэнэгийн нягт нь $\sigma$ байв.  Түүний төвөөс $2R$ зайд цахилгаан орны хүчлэг ямар байх вэ?

———————————

Өгсөн нь:

$\sigma$

$2R$

———————————-

$E = ?$

 

Бодолт:

Бөмбөрцөг тэгш хэмтэй тул түүний гадаргуу дээрх цэнэгийн төв нь бөмбөрцгийн төв дээр байна. Иймээс цэнэгтэй бөмбөрцгийг түүний төв дээр байгаа, түүнтэй тэнцүү хэмжээтэй цэгэн цэнэгээр сольж болно. Одоо бөмбөрцгийн цэнэг ямар байгааг олъё:

$$Q = \sigma \cdot S_{бөмбөрцөг}$$

Харин бөмбөрцгийн талбай нь:

$$S_{бөмбөрцөг} = 4 \pi R^2$$

тул

$$Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$$

Одоо ийм хэмжээтэй цэгэн цэнэгээс $2R$ зайд цахилгаан орны хүчлэг ямар байхыг олъё:

$Q$ цэгэн цэнэгээс $r$ зайд цахилгаан орны хүчлэгийн хэмжээ

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$

байдаг. $r = 2R$ гэж орлуулбал:

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4R^2}$$

Цэнэгийн хэмжээ $Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$ болохыг орлуулбал:

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{4R^2}$$

Сүүлийн илэрхийллийг эмхэтгэвэл:

$$E = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$$

болж байна.

Цахилгаан статик: Бодлого 2

Copyright (C) Soniuch.Net

$10нКл$ цэнэгийг $100В$ потенциалтай цэгээс $500В$ потенциалтай цэг уруу шилжүүлэхэд ямар хэмжээний ажил хийх вэ?

—————————————-

Өгсөн нь:

$q = 10нКл$

$\varphi_1 = 100В$

$\varphi_2 = 500В$

—————————————-

$A  =?$

 

—————————————-

Цахилгаан орны потенциал гэдэг нь нэгж эерэг цэнэгт оногдох потенциал энергийн хэмжээ билээ.  Эхний цэгт цэнэг $W_1$ потенциал энергитэй байсан бол дараагийн цэгт $W_2$ потенциал энергитэй болно. Энэ энергийн зөрүү нь гадны хүчний хийсэн ажил болно.

$$A = W_2 – W_1$$

Эхний цэгт потенциал энерги нь $W_1 = q \varphi_1$,  хоёрдугаар цэгт потенциал энерги нь $W_2 = q \varphi_2$ болно.

Ингээд гадны хүчний хийсэн ажил нь:

$$A = W_2 – W_1 = q \varphi_2 – q \varphi_1 = q \cdot (\varphi_2 – \varphi_1)$$

$$A = 10 \cdot 10^{-9} \cdot (500 – 100)Ж = 4 \cdot 10^{-6}Ж = 4мкЖ$$

болж байна. Энэ хийсэн ажлын хэмжээгээр цэнэгийн потенциал энерги нэмэгдэнэ.

Цахилгаан статик: Бодлого 1

Хоорондоо $r=6см$ зайд орших ижил $q=1нКл$ хэмжээтэй хоёр цэнэгүүд хоорондоо ямар хүчээр харилцан үйлчлэлцэх вэ?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Өгсөн нь:

$q_1 = q_2 = 1нКл$

$r = 6см$

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Бодолт:

Хөдөлгөөнгүй цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүн нь Кулоны хуулиар илэрхийлэгдэнэ:

$$\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r_{12}^3} \vec r_{12}$$

Энэ хуулийг скальяр хэлбэрээр нь бичье:

$$F_{12} =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} $$

Хоёр цэнэгийн байгаа орчныг тусгайлан зааж өгөөгүй тул агаарт эсвэл вакуумд байна гэж тооцъё. Агаар болон вакуумын хувьд харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь $\varepsilon = 1$ байна.

$$F_{12} =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2}   = \frac{1}{4 \cdot 3.14 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \frac{1 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9}}{(6 \cdot 10^{-2})^2} Н \approx 2.5 \cdot 10^{-6}Н = 2.5 мкН$$