Category: Физикийн бодлогууд

Өндөр цамхаг дээрээс чулууг хэвтээ чигт $\upsilon_0=20м/с$ хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа чулууны кинетик энерги нь 3 дахин их болох вэ? Хүндийн хүчний хурдатгал $g=9.81м/с^2$ болно.

————————————

Өгсөн нь:

$\upsilon_0=20м/с$

$g=9.81м/с^2$

$E/E_0=3$

————————————-

Олох нь $t=?$

Бодолт:

Эхлээд шидэх үеийн кинетик энерги $E_0$–ийг олъё.

$$E_0 = \frac{m \upsilon_0^2}{2}$$

Хугацаа өнгөрөх тутам чулууны доошоо чиглэсэн хурд хүндийн хүчний үйлчлэлээр нэмэгдэх тул кинетик энерги нь ч мөн нэмэгдэнэ. Эхний агшинд чулуу зөвхөн хэвтээ чигт хурдтай байсан бол түүнээс хойш босоо болон хэвтээ тэнхлэгийн аль алиных нь дагууд хурдтай болно. Ингээд $t$ хугацааны дараа чулууны хурд нь босоо тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_y$ ба хэвтээ тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_x$–ийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно.

$$\vec{\upsilon} =\vec{i} \upsilon_x + \vec{j} \upsilon_y$$

$\vec{i}$ ба $\vec{j}$ нь харгалзан хэвтээ ба босоо тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд юм. Бид энергийг олох гэж байгаа тул хурдны вектор биш харин хурдны квадратын утга хэрэгтэй. Пифагорын теоремийг хэрэглэвэл:

$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2$$

Хэвтээ тэнхлэгийн дагууд хүч үйлчлээгүй тул $t$ хугацааны дараах хурд нь $\upsilon_x = \upsilon_0$ байна.

Босоо чиглэлд хүндийн хүч үйлчлэх тул хурд нь анх 0 байснаа нэмэгдсээр $t$ хугацааны дараа $\upsilon_y=gt$ болно.

Хэрэв энэ зүйл ойлгомжгүй байвал доор байгаа видео бичлэгийг үзнэ үү.

Ингээд

$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2 =\upsilon_0^2+{(gt)}^2$$

$t$ хугацааны дараа кинетик энерги нь:

$$E=\frac{m\upsilon^2}{2} = \frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}$$

Бодлогын нөхцөл ёсоор:

$$\frac{E}{E_0} = \frac{\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}}{\frac{m \upsilon_0^2}{2}} = 3$$

Эндээс

$$\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2} = 3\frac{m \upsilon_0^2}{2}$$

буюу

$$\upsilon_0^2+{(gt)}^2 = 3 \cdot \upsilon_0^2$$ болно. Хугацааг олбол:

$$t =\sqrt{2} \cdot \upsilon_0/g \approx 2.88сек$$

2.88сек-ийн дараа кинетик энерги нь 3 дахин нэмэгдэнэ.

 

Биетийг эгц дээш 60м/с хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа хурд нь 3 дахин бага болох вэ? Энэ үед ямар өндөрт байх вэ?

—————————————-

Бодолт:

$\upsilon_0 = 60м/с$

$k = \upsilon_0 / \upsilon = 3$

—————————————–

$t=?$

—————————————–

Шидэгдсэн биет нь $g=9.81м/с$ хурдатгалтай хөдөлнө. $t$ хугацааны дараа эгц дээш шидэгдсэн биетийн хурд нь $\upsilon$ болно.

$$\upsilon = \upsilon_0 – gt$$

Бодлогын нөхцөл ёсоор:

$$k = \upsilon_0 / \upsilon = \frac{\upsilon_0 }{\upsilon_0 – gt}$$.

Эндээс хугацааг олъё:

$$\upsilon_0 – gt = \frac{\upsilon_0}{k}$$

$$gt = \upsilon_0 – \frac{\upsilon_0}{k}$$

$$t = \frac{1}{g} (\upsilon_0 – \frac{\upsilon_0}{k})$$

$$t = \frac{\upsilon_0}{g}\bigg(1 – \frac{1}{k}\bigg)$$

Тоон утгуудыг орлуулбал:

$$t = \frac{60м/с}{9.81м/с^2} (1 – \frac{1}{3}) \approx 4.08с$$

Одоо энэ агшинд ямар өндөрт байхыг тодорхойлъё:

Эгц дээшээ шидэгдсэн биет $t$ хугацааны дараа

$$h = \upsilon_0 t – \frac{gt^2}{2}$$

өндөрт гарсан байна. $t$-г өмнөх тэгшитгэлээс орлуулж тавибал:

$h \approx 163.099м$ болж байна.

 

 

Хуванцар үрэл $h$ өндрөөс шалан дээр унаад ойжээ. Хэрэв унах агшнаас 2 дахь удаагаа шал дээрээс ойх хүртэл $t$ хугацаа өнгөрсөн бол сэргэх коэффициетийг ол.

---

Өгөгдсөн нь:

$h$

$t$

Олох нь:

$k = ?$

Бодолт:

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

$h$ өндрөөс унаад буцаж ойн $h_1$ өндөрт гарсан гэвэл сэргэх коэффициент нь

$$k = \frac{h_1}{h} = \frac{mgh_1}{mgh} \qquad \qquad (1)$$

байна. Энэ нь энергийн хэдэн хувь нь сэргэж байгааг харуулна. Унах агшнаас хойш 2 дахь удаагаа ойх хүртэл $t$ хугацаа зарцуулсан. Энэ хугацааг

$$t = t_0 + 2 t_1 \quad \quad (2)$$

гэж бичье. Энд $t_0$ нь $h$ өндрөөс шал хүрэх хугацаа, $t_1$ нь шалнаас ойж $h_1$ өндөрт хүрэх буюу $h_1$ өндрөөс эргэж шаланд хүрэх хугацаа болно.

$$h = \frac{gt^2}{2} \quad \to \quad t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}  \quad \quad (3)$$

$$h_1 = \frac{gt_1^2}{2} \quad \to \quad t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} \quad \quad (4)$$

Эдгээрийг (2) тэгшитгэлд орлуулбал:

$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_1}{g}} \quad \quad (5)$$

(1)-р тэгшитгэлээс $h_1 = k h$ болохыг (5) тэгшитгэлд орлуулбал:

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \bigg( 1 + 2 \sqrt{k}\bigg) \quad \quad (6)$$

Сүүлийн тэгшитгэлээс $k$-г олбол:

$$k = \frac{1}{4} \bigg( t \sqrt{\frac{q}{2h}} – 1\bigg)^2 $$