Category: Физикийн бодлогууд

Өндөр цамхаг дээрээс чулууг хэвтээ чигт ${\upsilon }_0=20м/с$ хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа чулууны кинетик энерги нь 3 дахин их болох вэ? Хүндийн хүчний хурдатгал $g=9.81м/{с}^2$ болно.

————————————

Өгсөн нь:

${\upsilon }_0=20м/с$

$g=9.81м/{с}^2$

$E/E_0=3$

————————————-

Олох нь $t=?$

Бодолт:

Эхлээд шидэх үеийн кинетик энерги $E_0$–ийг олъё.

$$E_0=\frac{m{\upsilon }_0^2}{2}$$

Хугацаа өнгөрөх тутам чулууны доошоо чиглэсэн хурд хүндийн хүчний үйлчлэлээр нэмэгдэх тул кинетик энерги нь ч мөн нэмэгдэнэ. Эхний агшинд чулуу зөвхөн хэвтээ чигт хурдтай байсан бол түүнээс хойш босоо болон хэвтээ тэнхлэгийн аль алиных нь дагууд хурдтай болно. Ингээд $t$ хугацааны дараа чулууны хурд нь босоо тэнхлэгийн дагуух хурд ${\upsilon }_y$ ба хэвтээ тэнхлэгийн дагуух хурд ${\upsilon }_x$–ийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно.

$$\overrightarrow{\upsilon }=\overrightarrow{i}{\upsilon }_x+\overrightarrow{j}{\upsilon }_y$$

$\overrightarrow{i}$ ба $\overrightarrow{j}$ нь харгалзан хэвтээ ба босоо тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд юм. Бид энергийг олох гэж байгаа тул хурдны вектор биш харин хурдны квадратын утга хэрэгтэй. Пифагорын теоремийг хэрэглэвэл:

$${\upsilon }^2={\upsilon }_x^2+{\upsilon }_y^2$$

Хэвтээ тэнхлэгийн дагууд хүч үйлчлээгүй тул $t$ хугацааны дараах хурд нь ${\upsilon }_x={\upsilon }_0$ байна.

Босоо чиглэлд хүндийн хүч үйлчлэх тул хурд нь анх 0 байснаа нэмэгдсээр $t$ хугацааны дараа ${\upsilon }_y=gt$ болно.

Хэрэв энэ зүйл ойлгомжгүй байвал доор байгаа видео бичлэгийг үзнэ үү.

Ингээд

$${\upsilon }^2={\upsilon }_x^2+{\upsilon }_y^2={\upsilon }_0^2+{(gt)}^2$$

$t$ хугацааны дараа кинетик энерги нь:

$$E=\frac{m{\upsilon }^2}{2}=\frac{m({\upsilon }_0^2+{(gt)}^2)}{2}$$

Бодлогын нөхцөл ёсоор:

$$\frac{E}{E_0}=\frac{\frac{m({\upsilon }_0^2+{(gt)}^2)}{2}}{\frac{m{\upsilon }_0^2}{2}}=3$$

Эндээс

$$\frac{m({\upsilon }_0^2+{(gt)}^2)}{2}=3\frac{m{\upsilon }_0^2}{2}$$

буюу

$${\upsilon }_0^2+{(gt)}^2=3\cdot {\upsilon }_0^2$$ болно. Хугацааг олбол:

$$t=\sqrt{2}\cdot {\upsilon }_0/g\approx 2.88сек$$

2.88сек-ийн дараа кинетик энерги нь 3 дахин нэмэгдэнэ.

 

Биетийг эгц дээш 60м/с хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа хурд нь 3 дахин бага болох вэ? Энэ үед ямар өндөрт байх вэ?

—————————————-

Бодолт:

${\upsilon }_0=60м/с$

$k={\upsilon }_0/\upsilon =3$

—————————————–

$t=?$

—————————————–

Шидэгдсэн биет нь $g=9.81м/с$ хурдатгалтай хөдөлнө. $t$ хугацааны дараа эгц дээш шидэгдсэн биетийн хурд нь $\upsilon$ болно.

$$\upsilon ={\upsilon }_0–gt$$

Бодлогын нөхцөл ёсоор:

$$k={\upsilon }_0/\upsilon =\frac{{\upsilon }_0}{{\upsilon }_0–gt}$$.

Эндээс хугацааг олъё:

$${\upsilon }_0–gt=\frac{{\upsilon }_0}{k}$$

$$gt={\upsilon }_0–\frac{{\upsilon }_0}{k}$$

$$t=\frac{1}{g}({\upsilon }_0–\frac{{\upsilon }_0}{k})$$

$$t=\frac{{\upsilon }_0}{g}(1–\frac{1}{k})$$

Тоон утгуудыг орлуулбал:

$$t=\frac{60м/с}{9.81м/{с}^2}(1–\frac{1}{3})\approx 4.08с$$

Одоо энэ агшинд ямар өндөрт байхыг тодорхойлъё:

Эгц дээшээ шидэгдсэн биет $t$ хугацааны дараа

$$h={\upsilon }_{0}t–\frac{g{t}^2}{2}$$

өндөрт гарсан байна. $t$-г өмнөх тэгшитгэлээс орлуулж тавибал:

$h\approx 163.099м$ болж байна.

 

 

Хуванцар үрэл $h$ өндрөөс шалан дээр унаад ойжээ. Хэрэв унах агшнаас 2 дахь удаагаа шал дээрээс ойх хүртэл $t$ хугацаа өнгөрсөн бол сэргэх коэффициетийг ол.

---

Өгөгдсөн нь:

$h$

$t$

Олох нь:

$k=?$

Бодолт:

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

$h$ өндрөөс унаад буцаж ойн $h_1$ өндөрт гарсан гэвэл сэргэх коэффициент нь

$$k=\frac{h_1}{h}=\frac{mg{h}_1}{mgh}(1)$$

байна. Энэ нь энергийн хэдэн хувь нь сэргэж байгааг харуулна. Унах агшнаас хойш 2 дахь удаагаа ойх хүртэл $t$ хугацаа зарцуулсан. Энэ хугацааг

$$t=t_0+2t_1(2)$$

гэж бичье. Энд $t_0$ нь $h$ өндрөөс шал хүрэх хугацаа, $t_1$ нь шалнаас ойж $h_1$ өндөрт хүрэх буюу $h_1$ өндрөөс эргэж шаланд хүрэх хугацаа болно.

$$h=\frac{g{t}^2}{2}\to t_0=\sqrt{\frac{2h}{g}}(3)$$

$$h_1=\frac{g{t}_1^2}{2}\to t_1=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}(4)$$

Эдгээрийг (2) тэгшитгэлд орлуулбал:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h_1}{g}}(5)$$

(1)-р тэгшитгэлээс $h_1=kh$ болохыг (5) тэгшитгэлд орлуулбал:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}(1+2\sqrt{k})(6)$$

Сүүлийн тэгшитгэлээс $k$-г олбол:

$$k=\frac{1}{4}(t\sqrt{\frac{q}{2h}}–1{)}^2$$