Category: Динамикийн бодлогууд

Төмөр зам дээр ачаагүй ($m_1 = 26тонн$) болон ачаатай ($m_2=94тонн$) хоёр вагон байв. Зүтгүүр ачаагүй вагоныг чирэхэд $a_1=0.4м/с^2$ хурдатгалтай хөдөлгөж байв. Харин ачаатай вагоныг чирэхэд $a_2=0.1м/с^2$ хурдатгалтай хөдөлгөнө. Хэрэв тэдгээрийг хамтад нь чирвэл ямар хурдатгалтай хөдөлгөх вэ? Аль ч тохиолдолд зүтгүүрийн хүч адил байна гэж үзээрэй.

---

Бодолт:

Өгсөн нь:

$m_1 = 26т$

$a_1=0.4м/с^2$

$m_2 = 94т$

$a_2=0.1м/с^2$

———————————–

$a = ?$

 

Зүтгүүрийн массыг $m$, ачаагүй вагоны массыг $m_1$, ачаатай вагоны массыг $m_2$ гэе.

Нэгдүгээр буюу ачаагүй вагоныг чирч байгаа үед Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичье:

$$\vec{F} = (m+m_1) \vec{a_1}$$

Үүнтэй адил тэгшитгэлийг хоёрдугаар вагоны хувьд бичвэл:

$$\vec{F} = (m+m_2) \vec{a_2}$$

Энд $F$ нь зүтгүүрийн гаргах хүч юм.

Одоо хоёр вагоныг хамтад нь татах үед Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичье:

$$\vec{F} = (m+ m_1 + m_2) \vec{a}$$

Энд байгаа $a$нь бидний олох хурдатгал юм.

Дээрх тэгшитгэлүүдийг скаляр хэлбэрт бичье.

${F} = (m+m_1) {a_1}$            (1)

${F} = (m+m_1) {a_1}$            (2)

${F} = (m+ m_1 + m_2) {a}$           (3)

 

Эхний хоёр тэгшитгэлийг хооронд нь нэмээд $F$ хүчийг олъё:

$$2F = ma_1 + m_1 a_1 + m a_2 + m_2 a_2$$

$F = \frac{1}{2} \big( m(a_1 + a_2 ) + m_1 a_1 + m_2 a_2 \big)$                     (4)

(1) ба (2) тэгшитгэлүүдийг хооронд нь $F$-ээр тэнцүүлж байгаад зүтгүүрийн масс $m$-ийг олбол:

$$(m+m_1) a_1 = (m+m_2) a_2$$

$m = \dfrac{m_2 a_2 – m_1 a_1}{a_1 – a_2}$                                                         (5)

3-р тэгшитгэлээс $F$-ийг олбол:

$$a = \frac{F}{m + m_1 + m_2}$$

Сүүлийн тэгшитгэлд 4 ба 5-р тэгшитгэлээс олсон $F$ ба $m$-ийг орлуулбал:

$$a = \frac{a_1 a_2 (m_2 – m_1)}{ m_2 a_ 1 – m_1 a_2} = \frac{0.4 м/с^2 \cdot 0.1 м/с^2 (94 000кг – 26 000кг)}{96 000кг \cdot 0.4 м/с^2 – 26 000кг \cdot 0.1 м/с^2} = 0.076м/с^2$$ болж байна.

Дараах бичлэгт дэлхийн хамгийн том, дизель хөдөлгүүртэй зүтгүүрийн талаар өгүүлж байна.

Биетэд $60Н$ хүч үйлчлэхэд $0.8м/с^2$ хурдатгалтай болно. Энэ биетийг $2м/с^2$ хурдатгалтай хөдөлгөхийн тулд ямар хүчээр үйлчлэх хэрэгтэй вэ?

Өгсөн нь:

————————

$F_1 = 60.0Н$

$a_1 = 0.8м/с^2$

$a_1 = 2.0м/с^2$

————————

$F_2 = ?$

 

Бодолт:

Биетэд үйлчилж байгаа нийлбэр хүч тэгээс ялгаатай бол уг биет хурдатгалтай хөдөлдөг. Ямар нэгэн тавиур дээр байгаа биет эсвэл газар дээр байгаа биет хөдөлгөөнгүй байгаа бол түүнд үйлчилж байгаа хүчнүүдийн нийлбэр нь тэг байна л гэсэн үг. Хүч болон түүний нөлөөгөөр олж авах хурдатгалын холбоог Ньютоны хоёрдугаар хууль харуулдаг. Ньютоны хоёрдугаар хууль нь

$$\vec F = m \vec a$$

хэлбэртэй бичигддэг.

Биетийн хөдөлгөөний дагуу $x$ тэнхлэгийг сонгон авъя. Ингэвэл энэ бодлого нэг хэмжээст хөдөлгөөний бодлого болж байна. Өөрөөр хэлбэл шулуун замын жигд хурдсан хөдөлгөөн байна. Нэгэнт чиглэл нь тодорхой байгаа тул Ньютоны хоёрдугаар хуулийг скальяр хэлбэртэй бичье:

$$F = m a$$

Эхний тохиолдолд энэ хуулийг хэрэглэвэл:

$$F_1 = m a_1$$

болж байна. Эндээс бид биетийн массыг

$$m = \frac{F_1}{a_1}$$

гэж олж болно.

$m$ масстай биетийг $a_2$ хурдатгалтай хөдөлгөхийн тулд үйлчлэх хүч нь Ньютоны хоёрдугаар хууль ёсоор

$$F_2 = m a_2 = \frac{F_1}{a_1} a_2 = \frac{60Н}{0.8м/с^2} 2.0 м/с^2 = 150Н$$ болж байна.

Энэ бодлогын бодолтыг ойлгов уу? Ойлгосон ч эс ойлгосон ч Ньютоны хоёрдугаар хуулийн тухай хөгжилтэй бичлэг үзээрэй.

 

4Н хүчний үйлчлэлээр 2см сунаж буй пүршний харимхайн коэффициентыг ол.

————————————–

Өгсөн нь:

$F=4\text{Н}$

$\Delta l = 2\text{см} = 0.02\text{м}$

————————————–

Бодолт:

Энэ нь Гукийн хуулийг ашиглан бодох хялбар бодлого байна. Пүрш болон ямар нэгэн уян хатан биетийн хэлбэрийг өөрчилж деформацид оруулахад буцаж анхны хэлбэртээ орох эрмэлзлэл бүхий уян харимхайн хүч үйлчилдэг. Пүршийг хэвийн уртаас нь сунгах эсвэл шахах тутам энэ уян харимхайн хүч нь их болно. Хүчний хэмжээ нь суналт, агшилтын хэмжээтэй шууд хамааралтай байдаг. Үүнийг Гукийн хууль илэрхийлдэг бөгөөд Гукийн хууль нь $$F= k \Delta l$$ хэлбэртэй байдаг. Эндээс пүршний хатыг олбол :

$$k = \frac{F}{\Delta l} = \frac{2Н}{0.02\text{м}} = 100 Н/м$$

болж байна.