Механик: Кинематикийн бодлого
Өндөр цамхаг дээрээс чулууг хэвтээ чигт $\upsilon_0=20м/с$ хурдтай шидэв. Ямар хугацааны дараа чулууны кинетик энерги нь 3 дахин их болох вэ? Хүндийн хүчний хурдатгал $g=9.81м/с^2$ болно.
————————————
Өгсөн нь:
$\upsilon_0=20м/с$
$g=9.81м/с^2$
$E/E_0=3$
————————————-
Олох нь $t=?$
Бодолт:
Эхлээд шидэх үеийн кинетик энерги $E_0$–ийг олъё.
$$E_0 = \frac{m \upsilon_0^2}{2}$$
Хугацаа өнгөрөх тутам чулууны доошоо чиглэсэн хурд хүндийн хүчний үйлчлэлээр нэмэгдэх тул кинетик энерги нь ч мөн нэмэгдэнэ. Эхний агшинд чулуу зөвхөн хэвтээ чигт хурдтай байсан бол түүнээс хойш босоо болон хэвтээ тэнхлэгийн аль алиных нь дагууд хурдтай болно. Ингээд $t$ хугацааны дараа чулууны хурд нь босоо тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_y$ ба хэвтээ тэнхлэгийн дагуух хурд $\upsilon_x$–ийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно.
$$\vec{\upsilon} =\vec{i} \upsilon_x + \vec{j} \upsilon_y$$
$\vec{i}$ ба $\vec{j}$ нь харгалзан хэвтээ ба босоо тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд юм. Бид энергийг олох гэж байгаа тул хурдны вектор биш харин хурдны квадратын утга хэрэгтэй. Пифагорын теоремийг хэрэглэвэл:
$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2$$
Хэвтээ тэнхлэгийн дагууд хүч үйлчлээгүй тул $t$ хугацааны дараах хурд нь $\upsilon_x = \upsilon_0$ байна.
Босоо чиглэлд хүндийн хүч үйлчлэх тул хурд нь анх 0 байснаа нэмэгдсээр $t$ хугацааны дараа $\upsilon_y=gt$ болно.
Хэрэв энэ зүйл ойлгомжгүй байвал доор байгаа видео бичлэгийг үзнэ үү.
Ингээд
$$\upsilon^2=\upsilon_x^2+\upsilon_y^2 =\upsilon_0^2+{(gt)}^2$$
$t$ хугацааны дараа кинетик энерги нь:
$$E=\frac{m\upsilon^2}{2} = \frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}$$
Бодлогын нөхцөл ёсоор:
$$\frac{E}{E_0} = \frac{\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2}}{\frac{m \upsilon_0^2}{2}} = 3$$
Эндээс
$$\frac{m(\upsilon_0^2+{(gt)}^2)}{2} = 3\frac{m \upsilon_0^2}{2}$$
буюу
$$\upsilon_0^2+{(gt)}^2 = 3 \cdot \upsilon_0^2$$ болно. Хугацааг олбол:
$$t =\sqrt{2} \cdot \upsilon_0/g \approx 2.88сек$$
2.88сек-ийн дараа кинетик энерги нь 3 дахин нэмэгдэнэ.