Цахилгаан статик

Цэнэг хадгалагдах хууль:

Цахилгааны хувьд тусгаарлагдсан системийн цэнэг ямар ч процессийн үед өөрчлөгдөхгүй.

Кулоны хууль

$q_1$ цэгэн цэнэгээс ${\overrightarrow{r}}_{12}$ зайд $q_2$ хэмжээтэй хоёр дахь цэгэн цэнэг байв. $q_1$ цэнэгийн зүгээс $q_2$ цэнэгт үйлчлэх хүч нь дараах томьёогоор олдоно:

$${\overrightarrow{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^3}{\overrightarrow{r}}_{12}$$

Энэ хуулийг скаляр хэлбэрээр бичвэл:

$$F_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}$$

Цахилгаан орны хүчлэг

Цахилгаан орны зүгээс нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчтэй тэнцэх хэмжигдэхүүнийг цахилгаан орны хүчлэг гэнэ. Цахилгаан орны зүгээс $q_{\circ }$ цэгэн цэнэгт $\overrightarrow{F}$ хүчээр үйлчилж байвал уг цахилгаан орны хүчлэг нь $q_{\circ }$ цэнэгийн байгаа цэгт: $$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_{\circ }}$$

Цахилгаан орны индукцийн вектор

Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж байвал индукцийн вектор $D$ -г дараах томьёогоор олж болно:

$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_{\circ }\epsilon \overrightarrow{E}$$

Цахилгаан орны хүчлэг нь орчны шинж чанараас хамаардаг, харин  цахилгаан орны индукцийн вектор нь орчны шинж чанараас хамаардаггүй, зөвхөн цэнэгүүдийн систем болон авч үзэж байгаа цэгийн байршлаас хамаардаг.

Цэгэн цэнэгийн цахилгаан орон

$q$ цэгэн цэнэгээс $\overrightarrow{r}$ зайд цахилгаан орны хүчлэг нь: $$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q}{r^3}\overrightarrow{r}$$

Үүнийг скаляр хэлбэрээр бичвэл: $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q}{r^2}$$

Цахилгаан орныг нэмэх зарчим

Нийлбэр цахилгаан орон нь $$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2+{\overrightarrow{E}}_3+\cdots +{\overrightarrow{E}}_n=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{E}}_i$$ гэж олдоно. Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн үүсгэсэн орон байвал $$\overrightarrow{E}=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{E}}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q_i}{r_i^3}{\overrightarrow{r}}_i$$

Гауссын теорем

$q_1,q_2,\dots ,q_N$ цэнэгүүдийг тойруулан $S$ талбайтай битүү гадаргуу авъя. Уг гадаргуугаар нэвтрэн өнгөрөх индукцын векторын урсгал нь:

$${\oint }_S\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\sum _{i=1}^N{q}_i$$

Цахилгаан орны потенциал

Нэгж цэнэгт оногдох цахилгаан орны потенциал энергийг потенциал гэдэг. Цэгэн цэнэгээс $r$ зайд потенциал нь: $$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q}{r}$$

$n$ ширхэг цэгэн цэнэгийн үүсгэсэн цахилгаан орны потенциал нь: $$\phi =\sum _{i=1}^n{\phi }_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon }\frac{q_i}{r_i}$$ Энд $r_i$ нь $q_i$-р цэнэгээс авч үзэж буй цэг хүртэлх зай.

Цахилгаан орны хүчлэг ба потенциалын холбоо

$$\overrightarrow{E}=–\text{grad}\phi$$

Цахилгаан оронд цэнэг шилжүүлэхэд гүйцэтгэх ажил

$q$ цэнэгийг ${\phi }_1$ потенциалтай цэгээс ${\phi }_2$ потенциалтай цэгт шилжүүлэхэд гүйцэтгэх ажил нь: $$A=-\mathrm{\Delta }W=W_1–W_2=q({\phi }_1–{\phi }_2)$$

Хавтгай конденсаторын багтаамж

Параллель хос дамжуулагч хавтгай бүхий конденсаторыг хавтгай конденсатор гэнэ. Хавтаснуудын хоорондын зай $d$, хавтасны талбай $S$, тэдгээрийн хоорондох диэлектрик материалын харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт $epsilon$ мэдэгдэж байвал уг конденсаторын багтаамж нь:

$$C=\frac{{\epsilon }_{\circ }\epsilon S}{d}$$

Бөмбөрцөг конденсаторын багтаамж

Бөмбөрцөг конденсаторын дотор талын бөмбөрцгийн радиус нь $r_1$, гадна талын бөмбөлгийн радиус нь $r_2$ бөгөөд тэдгээрийг тусгаарлаж байгаа орчны харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь $\epsilon$ бол багтаамж нь:

$$C=4\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon \cdot \frac{r_1{r}_2}{r_2–r_1}$$

Цилиндр конденсаторын багтаамж

Тэнхлэгүүд нь давхцаж буй хөндий цилиндрүүдээс тогтох конденсаторыг цилиндр конденсатор гэнэ. Дотоод цилиндрийн радиус $r_1$, гадаад цилиндрийн радиус $r_2$, тэдгээрийг тусгаарлаж буй материалын харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь $\epsilon$, цилиндрүүдийн урт $l$ бол уг конденсаторын багтаамж нь:

$$C=2\pi {\epsilon }_{\circ }\epsilon \frac{l}{\ln (r_2/r_1)}$$

Конденсаторуудын зэрэгцээ холболт

$C_1$,  $C_2$,  $\dots$, $C_N$ багтаамжтай конденсаторуудыг зэрэгцээ холбовол нийлбэр багтаамж нь:

$$C=C_1+C_2+\dots C_N=\sum _{i=1}^N{C}_i$$

Кондесаторуудын цуваа холболт

$C_1$,  $C_2$,  $\dots$, $C_N$ багтаамжтай конденсаторуудыг цуваа  холбовол нийлбэр багтаамжийн урвуу нь:

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\dots \frac{1}{C_N}=\sum _{i=1}^N\frac{1}{C_i}$$

Цахилгаан диполийн момент

$+q$ ба $-q$ холбоост цэнэгүүдийн үүсгэсэн системийг диполь гэнэ. Цэнэгүүд хоорондоо $l$ зайтай бол диполийн момент нь:

$$\overrightarrow{p}=q\overrightarrow{l}$$

Нэгэн төрлийн цахилгаан оронд оруулсан дипольд $M$ хүчний эргүүлэх момент үйлчилнэ:

$$\overrightarrow{M}=[\overrightarrow{p}\overrightarrow{E}]$$

Харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт ба диэлектик мэдрэх чадварын холбоо

Материалын диэлкетрик мэдрэх чадвар нь $\chi$ бол харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь:

$$\epsilon =1+\chi$$

Цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн цахилгаан орны энерги

$C$ багтаамжтай дамжуулагчийг $q$ цэнэгээр $\phi$ потенциалтай болтол нь цэнэглэсэн бол түүний цахилгаан орны энерги нь:

$$W=\frac{C{\phi }^2}{2}=\frac{q^2}{2C}$$

Цэнэгтэй утасны цэнэгийн шугаман нягт

$l$ урттай утсыг $Q$ цэнэгээр жигд цэнэглэжээ. Утасны цэнэгийн шугаман нягт гэж $$\tau =\frac{Q}{l}$$ хэмжигдэхүүнийг хэлнэ.

Цэнэгтэй шулуун утасны үүсгэх цахилгаан орон

Хязгааргүй урт утасны цэнэгийн шугаман нягт нь $\tau$ байна. Энэ утаснаас $r$ зайд цэнэгтэй утасын үүсгэх цахилгаан орны хүчлэг нь:

$$E=\frac{\tau }{2\pi {\epsilon }_0\epsilon r}$$

Цахилгаан орны энергийн нягт

Цэнэгтэй биетийн эргэн тойронд цахилгаан орон үүсдэг. Цахилгаан орон нь тодорхой хэмжээний энергитэй байна. Нэгж эзлэхүүнд оногдох энергийн хэмжээг энергийн нягт гэдэг. Хэрэв цахилгаан орны хүчлэг $E$ мэдэгдэж байвал энергийн нягтыг нь дараах томьёогоор олж болно:

$$u_e=\frac{ED}{2}=\frac{{\epsilon }_0\epsilon E^2}{2}$$

Энд $D$ нь цахилгаан орны индукцийн вектор бөгөөд $D={\epsilon }_0\epsilon E$ болохыг ашиглав. Цахилгаан орны индукцийн векторыг заримдаа цахилгаан орны шилжилтийн вектор гэж нэрлэдэг.