Дифференциал тоолол (Уламжлал)

Нэгдүгээр гайхамшигт хязгаар:

$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Хоёрдугаар гайхамшигт хязгаар:

$lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

Уламжлал:

$x_{\circ}$ цэг дээрх $y = f (x)$ функцийн уламжлал гэдэг нь:

$f^{'} (x_{\circ}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$

Дифференциал

$y = f (x)$ функцын $x_{\circ}$ цэг дахь дифференциал нь $d y = f^{'} (x_{\circ}) d x$

Эгэл функцийн уламжлалууд

Нийлбэрийн уламжлал: $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$

Үржвэрийн уламжлал: $(u v)^{'} = u^{'} v + v^{'} u$ $C$ тогтмол бол $! (C u)^{'} = C u^{'}$

Ногдворын уламжлал: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

Зэрэгт функцын уламжлал: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$

$(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$

Илтгэгч функцийн уламжлал: $(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a$

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

Логарифм функцийн уламжлал:

$(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

Тригонометрийн функцийн уламжлал:

$(\sin x)^{'} = \cos x$

$(\cos x)^{'} = - \sin x$

$(tg x = \frac{1}{\cos x} = \sec^{2} x)^{'}$

$(ctg x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} = - {cosec}^{2} x$

$(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$(arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

$(arcctg x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Давхар функцын уламжлал:
$y = f (x) = f (φ (t))$ гэсэн давхар функц өгөгдсөн байг. $t_{\circ}$ цэг дээр $x_{\circ} = φ (t_{\circ})$ гэсэн үг. Энэ давхар функцийн уламжлал нь $t_{\circ}$ цэг дээр

$y^{'} (t_{\circ}) = f^{'} (x_{\circ}) \cdot φ^{'} (t_{\circ})$

Урвуу функцын уламжлал:

$y = f (x)$ функцын урвуу функц нь $x = φ (y)$ байг. $x_{\circ}$ цэг дээр $y_{\circ} = f (x_{\circ})$ байна. Энэ хоёр функцийн уламжлал нь уг цэг дээр

$φ^{'} (y_{\circ}) = \frac{1}{f^{'} (x_{\circ})}$