Динамик – Soniuch

Тэнцүү үйлчлэгч хүч:
Биетэд үйлчилж буй нийт хүчний нийлбэрийг тэнцүү үйлчлэгч хүч гэнэ: $$\vec{F} = \vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3} +\dots+\vec{F_N} = \sum_{i=1}^{i=N}\vec{F_i}$$

Импульс:
Биетийн масс ба хурдны үржвэрийг импульс гэнэ. Импульс нь биетийн механик төлөв байдлыг илэрхийлдэг: $$\vec{p} = m \vec{\upsilon}$$

Ньютоны нэгдүгээр хууль:
Биед хүч үйлчлэхгүй бол (тэнцүү үйлчлэгч хүч нь тэг бол) тухайн биет хөдөлгөөнгүй байна, эсвэл шулуун замын жигд хөдөлгөөнөө хадгална: $ \vec{F} = 0 $ бол $ \vec{\upsilon} = 0 $ байна.

Ньютоны хоёрдугаар хууль:
$$\vec{F} = m\vec{a}$$
Импульсыг оролцуулаад бас Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичиж болно: $$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{\upsilon}}{dt} + \vec{\upsilon} \frac{dm}{dt}$$

Хүчний импульс: $ \vec{F} $ хүч $ dt $ хугацаанд биетэд үйлчлэхэд импульс нь $$ \vec{F} dt = d\vec{p} $$ хэмжээгээр өөрчлөгдөнө.

Ньютоны гуравдугаар хууль:
Хүчний үйлчлэлд эсрэг тэнцүү үйлчлэл ямагт байна. Нэгдүгээр биетээс хоёрдугаар биетэд $ \vec{F}_{12} $ хүч үйлчилсэн. Харин хоёрдугаар биетээс нэгдүгээр биетэд үйлчлэх хүч нь $ \vec{F}_{21} $. Эсрэг үйлчлэл ямагт байх тул: $$\vec{F}_{12} = – \vec{F}_{21}$$

Импульс хадгалагдах хууль:
Биетэд үйлчилж буй тэнцүү үйлчлэгч хүч нь тэг бол уг биетийн импульс өөрчлөгдөхгүй: $$\vec{F}=0=\frac{d\vec{p}}{dt} \to d\vec{p} = 0 \to \vec{p} = const$$

Массын төв

Массын төвийн координат буюу радиус вектор нь дараах томъёогоор олдоно:

$$\vec{r}_c = \frac{\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^N m_i}$$

Энд $ m_i $ нь $ i $-р хэсгийн масс, $ \vec{r}_i $ нь $ i $-р хэсэг хүртэлх радиус вектор.

Mассын төвийн хурд:

Биетийн $ m_1, m_2, m_3, \dots, m_N $ масстай хэсгүүд харгалзан $ \vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3,\dots,\vec{p}_N $ импульстай бол массын төвийн хурд нь: $$\vec{\upsilon} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{p_i} }{\sum_i^N m_i}$$

Бүх ертөнцийн таталцлын хууль:
$ m $ ба $ M $ масстай хоёр биет нь хоорондоо $$F=\gamma \frac{mM}{r^2}$$ хүчээр таталцана. Энд $ \gamma $ нь бүх ертөнцийн таталцлын тогтмол.

$ M $ масстай биет дээр тооллын эхийг авъя. $ m $ масстай биетийн радиус векторыг нь $ \vec{r} $ гэе. Энэ хуулийг вектор хэлбэрээр бичвэл: $$\vec{F}=\gamma \frac{mM}{r^3}\vec{r}$$.

Чөлөөт уналтын хурдатгал: $$g=\gamma \frac{M}{r^2}$$

Хүндийн хүчний оронд байгаа биетийн жин:

Энд $ m $ -р биеийн массыг, $ p $-р хүндийн хүчний хурдатгалыг тэмдэглэв.

Биет босоо тэнхлэгийн дагууд хурдатгалгүй байвал: $$p=mg$$

Биет эгц дээш $ a $ хурдатгалтай хөдөлж байвал жин нь: $$p=m(g+a)$$

Биет эгц доош чиглэсэн $a$ хурдатгалтай хөдөлж байвал жин нь: $$p=m(g-a)$$

Үрэлтийн хүч:
Биет ба гадаргуугийн хоорондын үрэлтийн коэффициент нь $\mu$ байг. Биет нь гадаргуу дээр $N$ хэмжээний реакцын хүчээр дарж байвал тайвны үрэлтийн хүч нь: $$F=\mu N$$

Гукийн хууль:
$ k $ хаттай пүрш буюу харимхай биетийг $ \Delta x $ хэмжээгээр сунгахад үйлчлэх хүч нь: $$F=-kx$$

Деформацлагдсан пүрш буюу харимай биетийн потенциал энерги нь: $$E=\frac{kx^2}{2}$$

$ s $ хөндлөн огтлолын талбай бүхий биетэд огтлолын нормалийн дагуу $ F $ хүч үйлчлэхэд сунгах буюу агшаах механик хүчлэг нь: $$\sigma=\frac{F}{s}$$

$ l $ урттай биетийн хүчний үйлчлэлийн дагуух агшилт буюу суналт нь $ \Delta l $ бол харьцангуй уртсалт нь: $$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$$

$ d $ диаметртэй биетийн хүчний үйлчлэлд хөндлөн чиглэлийн дагуух өргөсөлт буюу нарийсалт нь $ \Delta d $ бол харьцангуй өргөсөлт буюу нарийсалт нь: $$\varepsilon’ = \frac{\Delta d}{d}$$

Харьцангуй уртсалт болон харьцангуй өргөсөлтийн харьцааг Пуассоны коэффициент гэнэ: $$\mu = \frac{\varepsilon’}{\varepsilon}$$

Материалын Юнгийн модулийг $ E $ гэвэл Гукийн хууль нь: $$\sigma = \varepsilon E$$

$$F=\frac{Es \Delta l}{l_\circ}$$

Эргэлдэх хөдөлгөөний динамик ба статик:

Биетийн $ \Delta m_i $ масстай хэсэг тус бүрээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай нь $ r_i $ байв. Энэ биетийн инерцийн момент гэдэг нь: $$I =\sum_i m_i r_i^2$$

$ I $ инерцийн моменттой биет $ \omega $ өнцөг хурдтай эргэлдэж байвал импульсийн момент нь: $$\vec{L}=I\vec{\omega}$$

$ I $ инерцийн моменттой биет $ \varepsilon $ өнцөг хурдатгалтай эргэлдэж байвал түүнд үйлчилж буй хүчний момент нь: $$\vec{M}=I\vec{\varepsilon}$$

$ \vec{M} $ хүчний момент $ dt $ хугацааны туршид үйлчилбэл эргэлдэх хөдөлгөөний импульсын момент нь $ d\vec{L} $ хэмжээгээр өөрчлөгдөнө. Эдгээрийн холбоо нь: $$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$$

Штейнерийн теорем. $ m $ масстай биетийн өөрийнх нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулсан инерцийн момент нь $ I_\circ $. Уг биетийн эргэлтийн тэнхлэгээс $ l $ зайд байгаа өөр тэнхлэгтэй харьцуулсан инерцийн момент нь: $$I=I_\circ + ml^2$$

Хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцөл:

$$\sum_i \vec{M}_i =0$$

Ажил ба энерги:

Биетэд $ \vec{F} $ хүч үйлчилж $ d\vec{s} $ зайд шилжүүлсэн бол уг хүчний гүйцэтгэсэн ажил нь: $$dA=\vec{F} d\vec{s}$$

Нэгж хугацаанд гүйцэтгэсэн ажлыг чадал гэнэ: $$N=\frac{dA}{dt}$$

$ m $ масстай биет $ \upsilon $ хурдтай явж байвал хөдөлгөөний буюу кинетик энерги нь: $$E=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$ m $ масстай, $ I $ инерцийн моменттой биет $ \upsilon $ хурдтайгаар эргэлдэн өнхөрч байвал кинетик энерги нь: $$E=\frac{m\upsilon^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$$

$ h $ өндөрт байгаа $ m $ масстай биетийн потенциал энерги нь: $$ E_p=mgh $$

Ньютоны нэгдүгээр хууль: