Нэгдүгээр гайхамшигт хязгаар:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
Хоёрдугаар гайхамшигт хязгаар:
$$\lim_{x \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{x} \big)^x = e$$
Уламжлал:
$x_\circ$ цэг дээрх $y=f(x)$ функцийн уламжлал гэдэг нь:
$$f'(x_\circ) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}$$
Дифференциал
$y=f(x)$ функцын $x_\circ$ цэг дахь дифференциал нь $$dy = f'(x_\circ)dx$$
Эгэл функцийн уламжлалууд
Нийлбэрийн уламжлал: $$(u+v)’ = u’ + v’$$
Үржвэрийн уламжлал: $$(u v)’ = u’ v + v’ u$$ $$C$$ тогтмол бол $$!(Cu)’=Cu’ $$
Ногдворын уламжлал: $$\big( \frac{u}{v}\big)’ = \frac{u’v – u v’}{v^2}$$
Зэрэгт функцын уламжлал: $$\big( x^n\big)’ = n x^{n-1}$$
$$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\big(\frac{1}{x}\big)’=(x^{-1})’=-\frac{1}{x^2}$$
Илтгэгч функцийн уламжлал: $$\big( a^x\big)’=a^x \ln a$$
$$\big( e^x\big)’ = e^x$$
Логарифм функцийн уламжлал:
$$(\log_a x)’=\frac{1}{x \ln a}$$
$$(\ln x)’ = \frac{1}{x}$$
Тригонометрийн функцийн уламжлал:
$$(\sin x)’ = \cos x$$
$$(\cos x)’ = – \sin x$$
$$(\textrm{tg} x = \frac{1}{\cos x} = \sec^2 x)’$$
$$(\textrm{ctg} x)’ = – \frac{1}{\sin^2 x} = – \textrm{cosec}^2 x$$
$$(\arcsin x)’= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arccos x)’= – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\textrm{arctg} x)’= \frac{1}{1+x^2}$$
$$(\textrm{arcctg} x)’= – \frac{1}{1+x^2}$$
Давхар функцын уламжлал:
$y=f(x) = f(\varphi(t))$ гэсэн давхар функц өгөгдсөн байг. $t_\circ$ цэг дээр $x_\circ = \varphi(t_\circ)$ гэсэн үг. Энэ давхар функцийн уламжлал нь $t_\circ$ цэг дээр
$$y'(t_\circ) = f'(x_\circ) \cdot \varphi'(t_\circ)$$
Урвуу функцын уламжлал:
$y=f(x)$ функцын урвуу функц нь $x=\varphi(y)$ байг. $x_\circ$ цэг дээр $y_\circ = f(x_\circ)$ байна. Энэ хоёр функцийн уламжлал нь уг цэг дээр
$$\varphi'(y_\circ) = \frac{1}{f'(x_\circ)}$$