Цахилгаан статик: Бодлого 3


Цэнэгтэй бөмбөрцгийн гадаргуугийн цэнэгийн нягт нь $\sigma$ байв.  Түүний төвөөс $2R$ зайд цахилгаан орны хүчлэг ямар байх вэ?

———————————

Өгсөн нь:

$\sigma$

$2R$

———————————-

$E = ?$

 

Бодолт:

Бөмбөрцөг тэгш хэмтэй тул түүний гадаргуу дээрх цэнэгийн төв нь бөмбөрцгийн төв дээр байна. Иймээс цэнэгтэй бөмбөрцгийг түүний төв дээр байгаа, түүнтэй тэнцүү хэмжээтэй цэгэн цэнэгээр сольж болно. Одоо бөмбөрцгийн цэнэг ямар байгааг олъё:

$$Q = \sigma \cdot S_{бөмбөрцөг}$$

Харин бөмбөрцгийн талбай нь:

$$S_{бөмбөрцөг} = 4 \pi R^2$$

тул

$$Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$$

Одоо ийм хэмжээтэй цэгэн цэнэгээс $2R$ зайд цахилгаан орны хүчлэг ямар байхыг олъё:

$Q$ цэгэн цэнэгээс $r$ зайд цахилгаан орны хүчлэгийн хэмжээ

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$

байдаг. $r = 2R$ гэж орлуулбал:

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4R^2}$$

Цэнэгийн хэмжээ $Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$ болохыг орлуулбал:

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{4R^2}$$

Сүүлийн илэрхийллийг эмхэтгэвэл:

$$E = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$$

болж байна.

Leave a comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *