Цахилгаан статик


Цэнэг хадгалагдах хууль:

Цахилгааны хувьд тусгаарлагдсан системийн цэнэг ямар ч процессийн үед өөрчлөгдөхгүй.

Кулоны хууль

$q_1$ цэгэн цэнэгээс $\vec r_{12}$ зайд $q_2$ хэмжээтэй хоёр дахь цэгэн цэнэг байв. $q_1$ цэнэгийн зүгээс $q_2$ цэнэгт үйлчлэх хүч нь дараах томьёогоор олдоно:

$$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r_{12}^3} \vec{r}_{12}$$

Энэ хуулийг скаляр хэлбэрээр бичвэл:

$${F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2} $$

Цахилгаан орны хүчлэг

Цахилгаан орны зүгээс нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчтэй тэнцэх хэмжигдэхүүнийг цахилгаан орны хүчлэг гэнэ. Цахилгаан орны зүгээс $q_\circ$ цэгэн цэнэгт $\vec{F}$ хүчээр үйлчилж байвал уг цахилгаан орны хүчлэг нь $q_\circ$ цэнэгийн байгаа цэгт: $$\vec E = \frac{\vec F}{q_\circ}$$

Цахилгаан орны индукцийн вектор

Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж байвал индукцийн вектор $D$ -г дараах томьёогоор олж болно:

$$\vec{D} = \varepsilon_\circ \varepsilon \vec{E}$$

Цэгэн цэнэгийн цахилгаан орон

$q$ цэгэн цэнэгээс $\vec r$ зайд цахилгаан орны хүчлэг нь: $$\vec E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q}{r^3} \vec r$$

Үүнийг скаляр хэлбэрээр бичвэл: $$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q}{r^2} $$

Цахилгаан орныг нэмэх зарчим

Нийлбэр цахилгаан орон нь $$\vec E = \vec {E}_1 + \vec {E}_2 + \vec {E}_3 + \cdots + \vec{E}_n = \sum_{i=1}^n \vec{E}_i $$ гэж олдоно. Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн үүсгэсэн орон байвал $$\vec E = \sum_{i=1}^n \vec {E}_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q_i}{r_i^3} \vec {r}_i$$

Гауссын теорем

$q_1, q_2, \dots, q_N$ цэнэгүүдийг тойруулан $S$ талбайтай битүү гадаргуу авъя. Уг гадаргуугаар нэвтрэн өнгөрөх индукцын векторын урсгал нь:

$$\oint_S \vec{D} d\vec{S}=\sum_{i=1}^N q_i$$

Цахилгаан орны потенциал

Нэгж цэнэгт оногдох цахилгаан орны потенциал энергийг потенциал гэдэг. Цэгэн цэнэгээс $r$ зайд потенциал нь: $$\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon } \frac{q}{r}$$

$n$ ширхэг цэгэн цэнэгийн үүсгэсэн цахилгаан орны потенциал нь: $$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon} \frac{q_i}{r_i}$$ Энд $r_i$ нь $q_i$-р цэнэгээс авч үзэж буй цэг хүртэлх зай.

Цахилгаан орны хүчлэг ба потенциалын холбоо

$$\vec E = – \textrm{grad} \varphi$$

Цахилгаан оронд цэнэг шилжүүлэхэд гүйцэтгэх ажил

$q$ цэнэгийг $\varphi_1$ потенциалтай цэгээс $\varphi_2$ потенциалтай цэгт шилжүүлэхэд гүйцэтгэх ажил нь: $$A=-\Delta W = W_1 – W_2 = q(\varphi_1 – \varphi_2)$$

Хавтгай конденсаторын багтаамж

Параллель хос дамжуулагч хавтгай бүхий конденсаторыг хавтгай конденсатор гэнэ. Хавтаснуудын хоорондын зай $d$, хавтасны талбай $S$, тэдгээрийн хоорондох диэлектрик материалын харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт $epsilon$ мэдэгдэж байвал уг конденсаторын багтаамж нь:

$$C = \frac{\varepsilon_{\circ} \varepsilon S}{d}$$

Бөмбөрцөг конденсаторын багтаамж

Бөмбөрцөг конденсаторын дотор талын бөмбөрцгийн радиус нь $r_1$, гадна талын бөмбөлгийн радиус нь $r_2$ бөгөөд тэдгээрийг тусгаарлаж байгаа орчны харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь $\varepsilon$ бол багтаамж нь:

$$C= 4\pi \varepsilon_\circ \varepsilon \cdot \frac{r_1 r_2}{r_2 – r_1}$$

Цилиндр конденсаторын багтаамж

Тэнхлэгүүд нь давхцаж буй хөндий цилиндрүүдээс тогтох конденсаторыг цилиндр конденсатор гэнэ. Дотоод цилиндрийн радиус $r_1$, гадаад цилиндрийн радиус $r_2$, тэдгээрийг тусгаарлаж буй материалын харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь $\varepsilon$, цилиндрүүдийн урт $l$ бол уг конденсаторын багтаамж нь:

$$C = 2 \pi \varepsilon_\circ \varepsilon \frac{l}{\ln(r_2 / r_1)}$$

Конденсаторуудын зэрэгцээ холболт

$C_1$,  $C_2$,  $\dots$, $C_N$ багтаамжтай конденсаторуудыг зэрэгцээ холбовол нийлбэр багтаамж нь:

$$C=C_1 + C_2 + \dots C_N = \sum_{i=1}^{N}C_i$$

Кондесаторуудын цуваа холболт

$C_1$,  $C_2$,  $\dots$, $C_N$ багтаамжтай конденсаторуудыг цуваа  холбовол нийлбэр багтаамжийн урвуу нь:

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots \frac{1}{C_N} = \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{C_i}$$

Цахилгаан диполийн момент

$+q$ ба $-q$ холбоост цэнэгүүдийн үүсгэсэн системийг диполь гэнэ. Цэнэгүүд хоорондоо $l$ зайтай бол диполийн момент нь:

$$\vec{p}=q \vec{l}$$

Нэгэн төрлийн цахилгаан оронд оруулсан дипольд $M$ хүчний эргүүлэх момент үйлчилнэ:

$$\vec{M} = [\vec{p} \vec{E}]$$

Харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт ба диэлектик мэдрэх чадварын холбоо

Материалын диэлкетрик мэдрэх чадвар нь $\chi$ бол харьцангуй диэлектрик нэвтрүүлэлт нь:

$$\varepsilon = 1 + \chi$$

Цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн цахилгаан орны энерги

$C$ багтаамжтай дамжуулагчийг $q$ цэнэгээр $\varphi$ потенциалтай болтол нь цэнэглэсэн бол түүний цахилгаан орны энерги нь:

$$W = \frac{C \varphi^2}{2} = \frac{q^2}{2C}$$