Материал цэгийн хөдөлгөөн буюу кинематик


Кинематикийн жишээ бодлогуудыг эндээс хараарай.

Дундаж хурд:
Биет \(\Delta t\) хугацаанд \(\Delta S\) зам туулсан бол дундаж хурд нь $$\upsilon = \frac{\Delta S}{\Delta t}$$ байна.

Жишээ бодлого


Хурд:
Биетийн координат нь \(dt\) хугацаанд \(d\vec{x}\) хэмжээгээр өөрчлөгдсөн байвал хурд нь
$$\vec{\upsilon} = \frac{d\vec{x}}{dt}$$ байна

Жишээ бодлого


Хурдатгал:
Биетийн хурд \(dt\) хугацаанд \(d\vec{\upsilon}\) хэмжээгээр өөрчлөгдсөн бол хурдатгал нь
$$\vec{a} = \frac{d\vec{\upsilon}}{dt}$$


Хурд ба хурдатгал:
\(\vec{a}\) хурдатгалтай хөдөлж буй биетийн хурд нь \(dt\) хугацаанд $$d\vec{v} = \vec{a} dt$$ хэмжээгээр өөрчлөгдөнө.


Шулуун замын жигд хурдсах, удаашрах хөдөлгөөн:
Биетийн хурдатгал нь тогтмол байвал жигд хурдсах буюу удаашрах хөдөлгөөн гэнэ. Өөрөөр хэлбэл \(\vec{a} = const\) гэсэн үг.

Тогтмол \(a\) хурдатгалтай хөдөлж буй биетийн хурд нь хугацааны эхний агшинд \(\upsilon_\circ\) байсан гэе. Тэгвэл \(t\) хугацааны дараа хурд нь ямар байхыг олъё:

$$\upsilon = \upsilon_\circ + a \cdot t$$

Энэ хугацаанд туулах зам нь:

$$S = \upsilon_\circ t + \frac{a t^2}{2}$$

\(\upsilon_\circ\) хурдтай биет \(a\) хурдатгалтайгаар жигд удаашран зогссон гэвэл зогсох хүртлээ $$S=\frac{\upsilon_\circ^2}{2a}$$ зам туулна.

Чөлөөтэй унаж буй биет нь жигд хурдсах хөдөлгөөн хийж буй биетийн жишээ юм.  Чөлөөт уналтын хурдатгалыг \(g\) гэж тэмдэглэдэг. Биетийг өндрөөс чөлөөтэй унагаавал \(t\) хугацааны дараа $$H = \frac{gt^2}{2}$$ зам туулна. \(g=9.81\)м/с\(^2\)  байдаг.


Хүндийн хүчний оронд өнцөг шидэгсэн биетийн хөдөлгөөн:
Биетийг хэвтээ тэнхлэгтэй \(\alpha\) өнцөг үүсгэн \(\upsilon_\circ\) анхны хурдтайгаар координатын эх дээрээс шидэв.

\(x\) тэнхлэгийн дагуух хурд нь:
$$\upsilon_x = \upsilon_{\circ x} = \upsilon_\circ \cos \alpha$$

\(y\) тэнхлэгийн дагуух хурд нь:
$$\upsilon_y = \upsilon_{\circ y} – gt = \upsilon_\circ \sin \alpha – gt$$

\(t\) хугацааны дараа координат нь:
$$x = \upsilon_x t = \upsilon_\circ \cos \alpha \cdot t$$
$$y = \upsilon_{\circ y} t – \frac{gt^2}{2} = \upsilon_\circ \sin \alpha \cdot t – \frac{gt^2}{2}$$

\( t \) хугацааны дараа хурд нь $$\upsilon = \sqrt{\upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}$$ байна.

Хөөрөх хугацаа нь: $$t_{x} = \frac{\upsilon_\circ \sin \alpha}{t}$$

Унах хүртлээ $$t_{y} = \frac{2 \upsilon_\circ \sin \alpha}{t}$$ хугацаа зарцуулна.

Шидэгдсэн газраас $$l= \frac{\upsilon_\circ^2 \sin 2\alpha}{g}$$ зайд очиж унана.

Хамгийн их хөөрөх өндөр нь $$H_{max} = \frac{\upsilon_\circ^2 \sin^2\alpha}{2g}$$


Хэвтээ чигт шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн:

Хэвтээ чигт \(\upsilon_\circ\) хурдтай шидсэн биет нь:

\( t \) хугацааны дотор хэвтээ чигт \( l = \upsilon_\circ t \) зайд шилжинэ.

\( t \) хугацааны дотор \( H = g t^2 /2 \) хэмжээгээр доошилно.

Хэвтээ чиглэлийн дагуух хурд нь \( \upsilon_x = \upsilon_\circ = const \) болно.

Босоо тэнхлэгийн дагуу хурд нь \( \upsilon_y = gt \) байна.


Тойргоор эргэх хөдөлгөөн:

Биет \( dt \) хугацаанд \( d \varphi \) өнцөг эргэсэн байвал өнцөг хурд нь: $$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$$

Харин тогтмол өнцөг хурдтайгаар \( \Delta t \)хугацаанд \( \Delta \varphi \) өнцөг эргэсэн байвал өнцөг хурд нь: $$\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$$

Тойргоор эргэж байгаа биет \( 360^\circ \) буюу \( 2\pi \) өнцөг эргэх хугацааг эргэлтийн үе гэнэ. Эргэлтийн үеийг голдуу \( T \) гэж тэмдэглэдэг. Эргэлтийн үе нь өнцөг хурдтай дараах холбоотой: $$T = \frac{2 \pi}{\omega}$$

Биет \( \Delta t \) хугацаанд \( \Delta N \) тооны эргэлт хийсэн байвал эргэлтийн давтамж нь: \( \nu = \Delta N / \Delta t \)

Нэгж хугацаанд хийх эргэлтийн тоог давтамж ( \( \nu \) ) гэдэг. Давтамжийн нэгж нь \(c^{-1}\) буюу Герц юм. Давтамж ба үе нь \(\nu = 1/T\) хамааралтай.

Биет \( r \) радиустай тойргоор \( \omega \) өнцөг хурдтай эргэж байвал шугаман хурд нь: $$\upsilon = \omega r$$
Шугаман хурдыг вектор хэлбэрээр бичвэл: $$\vec{\upsilon}=[\vec{\omega} \vec{R}]$$

Биет \( r \) радиустай тойргоор \( \upsilon \) хурдтай хөдөлж байвал төвд тэмүүлэх хурдатгал нь: $$a_n = \frac{\upsilon^2}{r}$$

Биет \( r \) радиустай тойргоор \( \omega \) өнцөг хурдтай эргэж байвал төвд тэмүүлэх хурдатгал нь: $$a_n = \omega^2 r$$

Тойргоор эргэж байгаа биетийн шугаман хурд нь \( dt \) хугацаанд \( d \upsilon \) хэмжээгээр нэмэгдэж байвал тангенциал буюу шүргэгч чиглэлтэй хурдатгал нь: $$a_{\tau} = \frac{d \upsilon}{dt}$$

Тойргоор эргэж байгаа биетийн нийт хурдатгал нь: $$a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2}$$