Динамик


Тэнцүү үйлчлэгч хүч: 
Биетэд үйлчилж буй нийт хүчний нийлбэрийг тэнцүү үйлчлэгч хүч гэнэ: $$\vec{F} = \vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3} +\dots+\vec{F_N} = \sum_{i=1}^{i=N}\vec{F_i}$$


Импульс:
Биетийн масс ба хурдны үржвэрийг импульс гэнэ. Импульс нь биетийн механик төлөв байдлыг илэрхийлдэг: $$\vec{p} = m \vec{\upsilon}$$


Ньютоны нэгдүгээр хууль:
Биед хүч үйлчлэхгүй бол (тэнцүү үйлчлэгч хүч нь тэг бол) тухайн биет хөдөлгөөнгүй байна, эсвэл шулуун замын жигд хөдөлгөөнөө хадгална: \( \vec{F} = 0 \) бол \( \vec{\upsilon} = 0 \) байна.


Ньютоны хоёрдугаар хууль:
$$\vec{F} = m\vec{a}$$
Импульсыг оролцуулаад бас Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичиж болно: $$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{\upsilon}}{dt} + \vec{\upsilon} \frac{dm}{dt}$$

Хүчний импульс: \( \vec{F} \) хүч \( dt \) хугацаанд биетэд үйлчлэхэд импульс нь $$ \vec{F} dt = d\vec{p} $$ хэмжээгээр өөрчлөгдөнө.


Ньютоны гуравдугаар хууль:
Хүчний үйлчлэлд эсрэг тэнцүү үйлчлэл ямагт байна. Нэгдүгээр биетээс хоёрдугаар биетэд \( \vec{F}_{12} \) хүч үйлчилсэн. Харин хоёрдугаар биетээс нэгдүгээр биетэд үйлчлэх хүч нь \( \vec{F}_{21} \). Эсрэг үйлчлэл ямагт байх тул: $$\vec{F}_{12} = – \vec{F}_{21}$$


 

Импульс хадгалагдах хууль:
Биетэд үйлчилж буй тэнцүү үйлчлэгч хүч нь тэг бол уг биетийн импульс өөрчлөгдөхгүй: $$\vec{F}=0=\frac{d\vec{p}}{dt} \to d\vec{p} = 0 \to \vec{p} = const$$


Массын төв

Массын төвийн координат буюу радиус вектор нь дараах томъёогоор олдоно:

$$\vec{r}_c = \frac{\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^N m_i}$$

Энд \( m_i \) нь \( i \)-р хэсгийн масс, \( \vec{r}_i \) нь \( i \)-р хэсэг хүртэлх радиус вектор.

Mассын төвийн хурд:

Биетийн \( m_1, m_2, m_3, \dots, m_N \) масстай хэсгүүд харгалзан \( \vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3,\dots,\vec{p}_N \) импульстай бол массын төвийн хурд нь: $$\vec{\upsilon} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{p_i} }{\sum_i^N m_i}$$


Бүх ертөнцийн таталцлын хууль:
\( m \) ба \( M \) масстай хоёр биет нь хоорондоо $$F=\gamma \frac{mM}{r^2}$$ хүчээр таталцана. Энд \( \gamma \) нь бүх ертөнцийн таталцлын тогтмол.

\( M \) масстай биет дээр тооллын эхийг авъя. \( m \) масстай биетийн радиус векторыг нь \( \vec{r} \) гэе. Энэ хуулийг вектор хэлбэрээр бичвэл: $$\vec{F}=\gamma \frac{mM}{r^3}\vec{r}$$.

Чөлөөт уналтын хурдатгал: $$g=\gamma \frac{M}{r^2}$$


Хүндийн хүчний оронд байгаа биетийн жин:

Энд \( m \) -р биеийн массыг, \( p \)-р хүндийн хүчний хурдатгалыг тэмдэглэв.

Биет босоо тэнхлэгийн дагууд хурдатгалгүй байвал: $$p=mg$$

Биет эгц дээш \( a \) хурдатгалтай хөдөлж байвал жин нь: $$p=m(g+a)$$

Биет эгц доош чиглэсэн \(a\) хурдатгалтай хөдөлж байвал жин нь: $$p=m(g-a)$$


Үрэлтийн хүч:
Биет ба гадаргуугийн хоорондын үрэлтийн коэффициент нь \(\mu\) байг. Биет нь гадаргуу дээр \(N\) хэмжээний реакцын хүчээр дарж байвал тайвны үрэлтийн хүч нь: $$F=\mu N$$


Гукийн хууль:
\( k \) хаттай пүрш буюу харимхай биетийг \( \Delta x \) хэмжээгээр сунгахад үйлчлэх хүч нь: $$F=-kx$$

Деформацлагдсан пүрш буюу харимай биетийн потенциал энерги нь: $$E=\frac{kx^2}{2}$$

\( s \) хөндлөн огтлолын талбай бүхий биетэд огтлолын нормалийн дагуу \( F \) хүч үйлчлэхэд сунгах буюу агшаах механик хүчлэг нь: $$\sigma=\frac{F}{s}$$

\( l \) урттай биетийн хүчний үйлчлэлийн дагуух агшилт буюу суналт нь \( \Delta l \) бол харьцангуй уртсалт нь: $$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$$

\( d \) диаметртэй биетийн хүчний үйлчлэлд хөндлөн чиглэлийн дагуух өргөсөлт буюу нарийсалт нь \( \Delta d \) бол харьцангуй өргөсөлт буюу нарийсалт нь: $$\varepsilon’ = \frac{\Delta d}{d}$$

Харьцангуй уртсалт болон харьцангуй өргөсөлтийн харьцааг Пуассоны коэффициент гэнэ: $$\mu = \frac{\varepsilon’}{\varepsilon}$$

Материалын Юнгийн модулийг \( E \) гэвэл Гукийн хууль нь: $$\sigma = \varepsilon E$$

$$F=\frac{Es \Delta l}{l_\circ}$$


Эргэлдэх хөдөлгөөний динамик ба статик:

Биетийн \( \Delta m_i \) масстай хэсэг тус бүрээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай нь \( r_i \) байв. Энэ биетийн инерцийн момент гэдэг нь: $$I =\sum_i m_i r_i^2$$

\( I \) инерцийн моменттой биет \( \omega \) өнцөг хурдтай эргэлдэж байвал импульсийн момент нь: $$\vec{L}=I\vec{\omega}$$

\( I \) инерцийн моменттой биет \( \varepsilon \) өнцөг хурдатгалтай эргэлдэж байвал түүнд үйлчилж буй хүчний момент нь: $$\vec{M}=I\vec{\varepsilon}$$

\( \vec{M} \) хүчний момент \( dt \) хугацааны туршид үйлчилбэл эргэлдэх хөдөлгөөний импульсын момент нь \( d\vec{L} \) хэмжээгээр өөрчлөгдөнө. Эдгээрийн холбоо нь: $$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$$

Штейнерийн теорем. \( m \) масстай биетийн өөрийнх нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулсан инерцийн момент нь \( I_\circ \). Уг биетийн эргэлтийн тэнхлэгээс \( l \) зайд байгаа өөр тэнхлэгтэй харьцуулсан инерцийн момент нь: $$I=I_\circ + ml^2$$

Хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцөл:

$$\sum_i \vec{M}_i =0$$


Ажил ба энерги:

Биетэд \( \vec{F} \) хүч үйлчилж \( d\vec{s} \) зайд шилжүүлсэн бол уг хүчний гүйцэтгэсэн ажил нь: $$dA=\vec{F} d\vec{s}$$

Нэгж хугацаанд гүйцэтгэсэн ажлыг чадал гэнэ: $$N=\frac{dA}{dt}$$

\( m \) масстай биет \( \upsilon \) хурдтай явж байвал хөдөлгөөний буюу кинетик энерги нь: $$E=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

\( m \) масстай, \( I \) инерцийн моменттой биет \( \upsilon \) хурдтайгаар эргэлдэн өнхөрч байвал кинетик энерги нь: $$E=\frac{m\upsilon^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$$

\( h \) өндөрт байгаа \( m \) масстай биетийн потенциал энерги нь: $$ E_p=mgh $$


Ньютоны нэгдүгээр хууль:


Ньютоны нэгдүгээр хууль:


Ньютоны нэгдүгээр хууль:


Ньютоны нэгдүгээр хууль:


Ньютоны нэгдүгээр хууль: