Тригонометр


Тригонометрийн функцын шинж чанарууд:

$$\sin (-x) = – \sin x$$

$$\cos (-x) = \cos x$$

$$\textrm {tg} (-x) = – \textrm{tg} x$$

$$\textrm{ctg} (-x) = – \textrm{ctg} x$$

$n$ нь бүхэл тоо бол дараах тэнцэтгэлүүд хүчинтэй:

$$\sin(x + 2\pi n) = \sin x$$

$$\cos(x + 2\pi n) = \cos x$$

Тригонометрийн функцуудын холбоо:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\textrm {tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

$$\textrm{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

Давхар өнцгийн хамаарал:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2 \textrm{tg} \alpha}{1 + \textrm{tg}^2 \alpha }$$

$$\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha = \frac{1 – \textrm{tg}^2 \alpha}{1 + \textrm{tg}^2 \alpha}$$

$$\textrm{tg} 2 \alpha = \frac{2 \textrm{tg} \alpha}{1 – \textrm{tg}^2 \alpha}$$

Гурвалсан өнцгийн хамаарал:

$$\sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha$$

$$\cos 3 \alpha = 4 \cos^3 \alpha – 3 \cos \alpha$$

Өнцгийн нийлбэр ялгаварын хувьд тригонометрийн функцүүд:

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

$$\textrm{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{tg} \alpha \pm \textrm{tg} \beta}{1 \mp \textrm{tg} \alpha \textrm{tg} \beta}$$

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ялгавар:

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac {\alpha – \beta}{2}$$

$$\sin \alpha – \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \cos \frac {\alpha + \beta}{2}$$

$$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac {\alpha – \beta}{2}$$

$$\cos \alpha – \cos \beta = – 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac {\alpha – \beta}{2}$$

$$\textrm{tg} \alpha \mp \textrm{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$$

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр буюу ялгаварт задлах:

$$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \big( \cos(\alpha – \beta) – \cos(\alpha + \beta) \big)$$

$$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big( \cos(\alpha – \beta) + \cos(\alpha + \beta) \big)$$

$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big( \sin(\alpha – \beta) + \sin(\alpha + \beta) \big)$$

Синусын теорем:

Гурвалжны гурван талууд нь $a, b, c$ ба тэдгээрт харгалзах өнцгүүд нь $\alpha, \beta, \gamma$ байв. Тэгвэл ямар ч гурвалжны хувьд дараах харьцаа хүчинтэй:

$$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma }{c}$$

Косинусын теорем:

Гурвалжны гурван талууд нь $a, b, c$ ба $a$ талын эсрэг талд байх өнцөг нь нь $\alpha$ байв. Тэгвэл ямар ч гурвалжны хувьд дараах тэнцэтгэл хүчинтэй:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha$$