Нийлбэр, үржвэр, зэрэг, логарифм



Арифметикийн дундаж

$$<a> = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}$$


Геометрийн дундаж:

$$s = (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n)^{1/n}$$


Үржвэр нийлбэрийн томъёонууд

$$a(b+c)=ab+ac$$

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2 – b^2$$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$$

$$(a-b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3a b^2 – b^3$$

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$$

$$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$$

Ньютоны бином:

$$(x+y)^n = C_0^n x^n + C_1^n x^{n-1} y + \cdots + C_k^{n} x^{n-k} y^k + \cdots + C_{n-1}^n x y^{n-1} + C_n^n y^n$$


Бутархайн шинж чанар
$$ \frac{A}{B} = \frac{AC}{BC}$$

$$ \frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$$

$$ \frac{A_1}{B_1} \cdot \frac{A_2}{B_2} = \frac{A_1 A_2}{B_1 B_2} $$

$$ \big( \frac{P}{Q} \big) ^n = \frac{P^n}{Q^n}$$

$$\frac{P_1}{Q_1} \div \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1}{Q_1} \cdot \frac{Q_2}{P_2}\$$


Зэргийн шинж чанар

$$a^n \cdot a^k = a^{n+k}$$

$$\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$$

$$(a^n)^k = a^{nk}$$

$$a^n \cdot b^n = (ab)^n$$

$$\frac{a^n}{b^n} = \big( \frac{a}{b} \big)^n$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$!{\big( \frac{a}{b} \big)^{-n} = \big( \frac{b}{a}} \big)^{n}$$


Язгуурын шинж чанар:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

$$\sqrt[n]{ab}= \sqrt[n]a \cdot \sqrt[n]b$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]a} {\sqrt[n]b} $$

$$(\sqrt[n]a)^k = \sqrt[n]{a^k}$$

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[k]a} = \sqrt[nk]{a}$$


Логарифмын чанар

$$\log_a 1 = 0$$

$$\log_a a = 1$$

$$a^{\log_a x} = x$$

$$\log_a({x_1 x_2}) = \log_a x_1 + \log_a x_2$$

$$\log_a(\frac{x_1}{x_2}) = \log_a x_1 – \log_a x_2$$

Хэрэв x>0 бол дараах чанарууд хүчинтэй

$$\log_a x^r = r \cdot \log_a x$$

$$\log_a x = \frac{\log_b a}{\log_b x}$$

$$\log_a x = \log_{a^k}{x^k}$$


Сэлгэмэл:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$