Дифференциал тоолол (Уламжлал)


Нэгдүгээр гайхамшигт хязгаар:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Хоёрдугаар гайхамшигт хязгаар:

$$\lim_{x \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{x} \big)^x = e$$

Уламжлал:

$x_\circ$ цэг дээрх $y=f(x)$ функцийн уламжлал гэдэг нь:

$$f'(x_\circ) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}$$

Дифференциал

$y=f(x)$ функцын $x_\circ$ цэг дахь дифференциал нь $$dy = f'(x_\circ)dx$$

Эгэл функцийн уламжлалууд

Нийлбэрийн уламжлал: $$(u+v)’ = u’ + v’$$

Үржвэрийн уламжлал: $$(u v)’ = u’ v + v’ u$$ $$C$$ тогтмол бол $$!(Cu)’=Cu’ $$

Ногдворын уламжлал: $$\big( \frac{u}{v}\big)’ = \frac{u’v – u v’}{v^2}$$

Зэрэгт функцын уламжлал: $$\big( x^n\big)’ = n x^{n-1}$$

$$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$\big(\frac{1}{x}\big)’=(x^{-1})’=-\frac{1}{x^2}$$

Илтгэгч функцийн уламжлал: $$\big( a^x\big)’=a^x \ln a$$

$$\big( e^x\big)’ = e^x$$

Логарифм функцийн уламжлал:

$$(\log_a x)’=\frac{1}{x \ln a}$$

$$(\ln x)’ = \frac{1}{x}$$

Тригонометрийн функцийн уламжлал:

$$(\sin x)’ = \cos x$$

$$(\cos x)’ = – \sin x$$

$$(\textrm{tg} x = \frac{1}{\cos x} = \sec^2 x)’$$

$$(\textrm{ctg} x)’ = – \frac{1}{\sin^2 x} = – \textrm{cosec}^2 x$$

$$(\arcsin x)’= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arccos x)’= – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\textrm{arctg} x)’= \frac{1}{1+x^2}$$

$$(\textrm{arcctg} x)’= – \frac{1}{1+x^2}$$

Давхар функцын уламжлал:
$y=f(x) = f(\varphi(t))$ гэсэн давхар функц өгөгдсөн байг. $t_\circ$ цэг дээр $x_\circ = \varphi(t_\circ)$ гэсэн үг. Энэ давхар функцийн  уламжлал нь $t_\circ$ цэг дээр

$$y'(t_\circ) = f'(x_\circ) \cdot \varphi'(t_\circ)$$

Урвуу функцын уламжлал:

$y=f(x)$ функцын урвуу функц нь $x=\varphi(y)$ байг. $x_\circ$ цэг дээр $y_\circ = f(x_\circ)$ байна. Энэ хоёр функцийн уламжлал нь уг цэг дээр

$$\varphi'(y_\circ) = \frac{1}{f'(x_\circ)}$$